Claude Fable 5によるヤコビアン予想の反例発見
2026年7月20日の出来事
2026年7月20日に数学者のLevent Alpöge氏がXへ「ヤコビアン予想は偽だ」と書き込み、3変数の多項式写像を1つ添えました。 87年間決着しなかった予想を3変数の場合について否定する反例で、式そのものは216文字以内で書くことができます。 Alpöge氏はハーバードのフェローで、経歴にはAnthropicの所属も記載されています。
友人の相談から始まったAIでの反例探し
Alpöge氏の投稿は論文の書き出しではなく友人へのお礼から始まります。 問題を持ちかけてくれた友人のアキル氏と、ワールドカップ決勝のあいだも作業を続けた「fable」に、Alpöge氏は感謝を伝えています。
この「fable」はClaude Fable 5のことです。日本語版Wikipediaの記述によれば、この反例はClaude Fable 5が見つけたとAlpöge氏が述べているとのこと。
"hello there the jacobian conjecture is false thanx to my close friend akhil for asking about it and my other close friend fable for working during the world cup final" — Alpöge氏のX投稿より公式情報を見る →
AIは単独で難問を解いたのか
数学者のBartósz Naskręcki氏は、一行のプロンプトではなかったと指摘しています。 同氏によるとこの種の反例は洞察なしには見つからないとのこと。OpenAIのAaron Lou氏は、社内のCodexモデルも、Alpöge氏とは別にほぼ同じ反例を見つけたと述べています。
"It was not a one-line prompt, cautioned Bartósz Naskręcki, one of many mathematicians now waiting for Alpöge’s full write-up." — 本文より公式情報を見る →
ヤコビ行列式がゼロ以外で一定なら多項式写像はもとに戻せるという予想
予想が主張していた中身
ヤコビアン予想は、多項式で書いた変換をもとに戻せるかどうかについての予想です。 1939年にオット・ハインリヒ・ケラーが、整数係数の多変数多項式についてこの予想を定式化しました。
3つの数 (x, y, z) を受け取り、加算と乗算だけでできた式で3つの数を出力する変換を思い浮かべてください。こうした式の組を多項式写像と呼びます。
ヤコビ行列の行列式は各点のまわりで空間が伸び縮みする度合い
写像を各点で微分して並べた表をヤコビ行列と呼び、その行列式がヤコビ行列式です。この値は各点のまわりで空間がどれだけ伸び縮みするかを表します。
予想の主張はヤコビ行列式がどの位置でもゼロにならない同じ値なら、その写像は多項式で書くことができる逆向きの写像を必ず持つというものでした。この逆向きの写像を逆写像と呼びます。
スメイルの問題にも選ばれて87年間残った数学の未解決問題
2変数の主張は、1884年にルートヴィヒ・クラウスが論じたところまでさかのぼります。クラウスの出した証明には誤りがあり、その後も気づきにくい誤りを含む証明が何本も出てきました。
1998年には、スティーヴン・スメイルが「次世紀の数学問題」の第16問題にヤコビアン予想を選んでいます。 Yitang Zhang氏の博士課程が行き詰まった一因にも、この予想がありました。
"The Jacobian conjecture was set out by Ott-Heinrich Keller in 1939. In rough terms, it says that a certain kind of polynomial map, one whose Jacobian determinant is a non-zero constant, must be reversible with a neat polynomial inverse." — 本文より公式情報を見る →
3変数以上のヤコビアン予想は反証され、2変数は未解決のまま
Alpöge氏が公表した反例（出所: 日本語版Wikipedia「ヤコビアン予想」3変数の反例）
(1+xy)³z + y²(1+xy)(4+3xy),
y + 3x(1+xy)²z + 3xy²(4+3xy),
2x − 3x²y − x³z
) （写像Fは3つの数を受け取って3つの数を返し、ヤコビ行列式はどの位置でも −2になります）
写像Fはヤコビ行列式がどの位置でも −2になり、ゼロ以外で一定という予想の前提を満たしています。 Fによって3変数の予想は反証されましたが、2変数の場合は決着しないまま残りました。
3つの入力が同じ出力になるので単射でなく逆写像もない
3つの入力が同じ出力へ重なる
異なる3つの入力をFに入れてもどれも同じ (−1/4, 0, 0) が出てくるため、出力からどの入力へ戻るかを1つに限定できません。 異なる入力を必ず異なる出力へ移す性質を単射と呼び、Fは単射ではないので、逆写像を作ることができません。前提を満たしたまま結論だけが成り立たないため、Fは予想の反例になります。
座標を追加すれば4変数以上の予想も反証できるのか
今回の反例でまず3変数のヤコビアン予想が偽になりました。したがって、Fに値をそのまま出力するだけの座標を1つずつ追加していけば、4変数以上でも同じ構造の反例を作ることができます。 日本語版Wikipediaは、座標を追加する構成によって3変数以上がまとめて反証されたと記しています。
最もよく知られた2変数の場合はこの反例では決着せず、2026年7月の時点でも未解決です。1変数の場合は自明に成り立ちます。
"これにより3変数のヤコビアン予想は反証された。" ／ "2変数の場合は、この反例からは決着せず、未解決のままである。" — 「3変数の反例」節より公式情報を見る →
査読前でもフィールズ賞受賞者は驚き、評価を据え置く声もある
Alpöge氏の結果はまだ査読を経ておらず、詳しい論文は後日公開すると本人が書き添えています。投稿には計算をWolfram Alphaで再現できるリンクも含まれており、式に数を代入してチェックする作業なら専門家でなくてもできます。
フィールズ賞受賞者のTimothy Gowers氏は、今回の反例を「amazing（見事だ）」と評しました。 専門外のGowers氏自身でも名前を知っているほど大きな問題をAIが解いた例は、今回が初めてだとのこと。Gowers氏は反例が大きな理論を築いたわけではないため、今回の発見で数学が終わるわけではないとも付け加えています。
コロンビア大学のAndrew Blumberg氏は、多項式の数は膨大で人が全部をチェックする作業は大変でも、機械には難しくないと指摘しました。Blumberg氏は、今回の件でAIの能力に対する評価は変わらなかったとも語っています。
証明と反例では、得られる理解の深さが異なります。証明なら予想がなぜ正しいのかまで読み取れますが、反例からは予想が成り立たないことが確定するだけで、なぜ成り立たないのかまでは読み取れません。
"A proof teaches you why something is true. A counterexample just ends the argument." ／ "This did not cause me to update my priors" — Andrew Blumberg 氏の評価をめぐる記述より公式情報を見る →
まとめ：ヤコビアン予想は3変数以上で偽となり2変数は今も解けていない
ヤコビアン予想は変数が3つ以上の場合に限って87年越しに決着しました。 Alpöge氏がClaude Fable 5を使って見つけた反例は、ヤコビ行列式が −2で一定なのに3つの入力を1つの出力に重ねる写像です。
式に数を代入すればこの重なりは専門家でなくてもチェックできますが、査読はこれからで詳しい論文もまだ出ていません。2変数の予想は未解決のままです。
AIが単独で難問を解いたわけではなく、今回の反例は友人の相談をきっかけに数学者がClaude Fable 5を使って見つけたものです。Fableを含む4モデルの違いはClaudeのモデル比較でわかるFableなど4モデルの料金差と選び方にまとめています。
FAQ
- ヤコビアン予想とは何ですか？
- 多項式で書いた変換をもとに戻せるかどうかについての予想です。加算と乗算だけでできた式で数の組を別の組へ移す変換を多項式写像と呼び、その変換が各点のまわりで空間をどれだけ伸び縮みさせるかを表す量をヤコビ行列式と呼びます。ヤコビ行列式がどの位置でもゼロ以外の同じ値なら、その変換は多項式で書くことができる逆向きの変換を必ず持つはずだ、と予想していました。1939年にオット・ハインリヒ・ケラーが定式化しています。
- ヤコビアン予想は完全に否定されたのですか？
- いいえ。偽になったのは変数が3つ以上の場合です。反例に値をそのまま出力するだけの座標を追加していけば、変数の多い場合にも同じ反例を作ることができるため、3変数以上はまとめて偽になりました。今回の反例では、最もよく知られた2変数の場合は決着せず、2026年7月の時点で未解決です。1変数の場合は自明に成り立ちます。
- Claude Fable 5は反例を自動で見つけたのですか？
- いいえ。数学者のBartósz Naskręcki氏は、一行のプロンプトではなかったと指摘し、この種の反例は洞察なしには見つからないと述べています。結果はまだ査読も通っていない段階で、AIが単独で難問を解いたわけではありません。
関連する記事
Claudeのモデル比較でわかるFableなど4モデルの料金差と選び方Claudeのモデル比較。現行はFable 5.1・Opus 5.5・Sonnet 5.5・Haiku 4.5の4つで、API料金は100万トークンあたり入力$1〜$10と最大10倍の差です。無料プランで選ぶことができるのはHaikuとSonnetまでです。足りない時だけ上位へ切り替えれば料金を抑えられます。
Fable 5のサイバー安全対策とジェイルブレイク深刻度指標CJSAnthropicが2026年7月2日に公開したClaude Fable 5のサイバーセーフガードでは、安全クラシファイアが要求を4分類に分け、分類ごとに異なる対応を取ります。ジェイルブレイクの深刻度を評価する新指標CJSは、4軸の合計点でCJS-0〜4の5段階に分けます。
Claude Fable 5が提供再開、7月7日以降は使用クレジット払いClaude Fable 5は輸出規制の解除を受け、2026年7月1日に全世界で提供を再開しました。7月7日以降は使用クレジットでの利用に変わります。停止の発端となった脱獄の手法は新しい分類器で99%超を防げるようになりました。Mythos 5の再開は一部の米国組織に限られます。
Claude Fable 5を利用できない原因5つ、オフライン版もないClaude Fable 5を利用できない原因は、無料プラン・古いアプリ・組織の設定・安全性チェックによる切り替え・利用上限の5つです。提供先はClaude APIやAmazon Bedrockなど5つのクラウドだけでオフライン版はなく、2026年6月の停止は7月1日に解消しています。